Centro Instantáneo de Rotación

·         CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN: Para un sólido de geometría plana, la intersección del eje instantáneo de rotación con el plano fijo se denomina centro instantáneo de rotación (CIR). En todo m omento puede considerarse que todos los puntos de ese sólido plano están girando en torno al CIR según un movimiento de rotación pura. En las figuras a la derecha se presentan dos ejemplos diferentes de construcción gráfica para ubicar la posición del CIR en sólidos planos. Un caso particular del movimiento general del sólido rígido, al que nosotros nos referimos en este curso, es aquél en el que todos sus puntos siguen trayectorias paralelas a un plano fijo. Este caso particular tiene interés porque la mayor parte de los mecanismos utilizados en la técnica cumplen esta condición, y decimos que su movimiento es un movimiento plano. Las rotaciones son perpendiculares a dicho plano fijo, y en cada instante puede considerarse que el sólido rígido tiene un movimiento de rotación pura alrededor de un eje normal al plano fijo, el cual s e denomina eje instantáneo de rotación. Debe tenerse en cuenta que este eje instantáneo de rotación puede ser que cambie con el tiempo, a medida que el cuerpo se traslada. Para un sólido de geometría plana, la intersección del eje instantáneo de rotación con el plano fijo se denomina centro instantáneo de rotación (CIR). En todo m omento puede considerarse que todos los puntos de ese sólido plano están girando en torno al CIR según un movimiento de rotación pura. En las figuras a la derecha se presentan dos ejemplos diferentes de construcción gráfica para ubicar la posición del CIR en sólidos planos.

 

CIR o polo de velocidad: El  centro instantáneo de rotación (CIR) (o polo de velocidades) son conceptos cinemáticos y geométricos fundamentales en la mecánica del sólidos. En dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano, sólo está definido en polo de velocidades o CIR, mientras que en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la noción ligeramente más complicada de eje instantáneo de rotación.

En cuanto al concepto de polo de velocidades o CIR, aunque se intuye en algunas construcciones cinemáticas atribuidas a René Descartes, e Isaac Newton estuvo a punto de descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento a Johann Bernoulli (1742).

En tres dimensiones el concepto se generaliza a eje instantáneo de rotación. En cada instante el eje instantáneo de rotación (cuando está definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotación alrededor del mismo más una posible traslación paralela al mismo. El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano. Además, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición).El polo podrá ser un punto impropio (en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR).

 

El centro instantáneo de rotación relativo:   polo común entre dos sólidos rígidos, referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre ambos sólidos. El centro instantáneo de rotación de un sólido rígido es un caso particular de centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón fijo (suelo).

Si los dos sólidos rígidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. Así, por ejemplo, en la siguiente figura el punto A es el centro instantáneo de rotación relativo entre las barras 2 y 3, B, el correspondiente a las barras 3 y 4, y O₂ el del eslabón fijo (suelo) y la barra 2. En este caso, O₂ es el centro instantáneo de rotación de la barra 2. Es decir, la barra 2 tiene un movimiento de rotación pura alrededor del punto de unión de dicha barra con el eslabón fijo.

 

 

Cuando existe un par prismático entre dos sólidos rígidos, el centro instantáneo de rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular común a la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado infinitamente lejos en la dirección definida por dicha perpendicular. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de par prismático (entre la deslizadera y el eslabón fijo del mecanismo biela-manivela).

 

 

A los pares cinemáticos de rotación y a los pares prismáticos se les denomina centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identificables. En cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más complejo, por ejemplo el que se produce entre los eslabones 3 y 1 del anterior mecanismo, la determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa y es necesario utilizar el teorema de los tres centros (o de Kennedy).

 

º Teorema de los tres centros:

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

 

CIR o polo de velocidad: El  centro instantáneo de rotación (CIR) (o polo de velocidades) son conceptos cinemáticos y geométricos fundamentales en la mecánica del sólidos. En dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano, sólo está definido en polo de velocidades o CIR, mientras que en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la noción ligeramente más complicada de eje instantáneo de rotación.

En cuanto al concepto de polo de velocidades o CIR, aunque se intuye en algunas construcciones cinemáticas atribuidas a René Descartes, e Isaac Newton estuvo a punto de descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento a Johann Bernoulli (1742).

En tres dimensiones el concepto se generaliza a eje instantáneo de rotación. En cada instante el eje instantáneo de rotación (cuando está definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotación alrededor del mismo más una posible traslación paralela al mismo. El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano. Además, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición).El polo podrá ser un punto impropio (en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR).

 

El centro instantáneo de rotación relativo:   polo común entre dos sólidos rígidos, referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre ambos sólidos. El centro instantáneo de rotación de un sólido rígido es un caso particular de centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón fijo (suelo).

Si los dos sólidos rígidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. Así, por ejemplo, en la siguiente figura el punto A es el centro instantáneo de rotación relativo entre las barras 2 y 3, B, el correspondiente a las barras 3 y 4, y O₂ el del eslabón fijo (suelo) y la barra 2. En este caso, O₂ es el centro instantáneo de rotación de la barra 2. Es decir, la barra 2 tiene un movimiento de rotación pura alrededor del punto de unión de dicha barra con el eslabón fijo.

 

 

Cuando existe un par prismático entre dos sólidos rígidos, el centro instantáneo de rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular común a la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado infinitamente lejos en la dirección definida por dicha perpendicular. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de par prismático (entre la deslizadera y el eslabón fijo del mecanismo biela-manivela).

 

 

A los pares cinemáticos de rotación y a los pares prismáticos se les denomina centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identificables. En cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más complejo, por ejemplo el que se produce entre los eslabones 3 y 1 del anterior mecanismo, la determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa y es necesario utilizar el teorema de los tres centros (o de Kennedy).

 

º Teorema de los tres centros:

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:

"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3.

 

 

Análisis de la velocidad: cuando se conoce los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad del cualquier punto del mismo sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando  la velocidad de CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que cocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por lo tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.

 

Calculo de velocidades:

1: identificar los eslabones a los que pertenecen:

a)    El punto de velocidad conocida.

b)    El  punto de velocidad desconocida.

c)    El eslabón de referencia o barra fija.

2: se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras que estarán en línea recta según nos indica el teorema de Kennedy

3: se calcula la velocidad del CIR  relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.

4: se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.

º Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.

º Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela-manivela.

Curvas polares:

Las  coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

 

CIR referido a un movimiento plano:

El centro instantáneo de rotación referido al movimiento plano de un cuerpo se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.

ü  Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación.

ü  Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.

ü  Si el cuerpo realiza un movimiento genera

 l en el centro instantáneo de rotación se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro.